Bernhard Riemann „Über die Hypothesen, welche der Geometrie by Bernhard Riemann PDF

By Bernhard Riemann

ISBN-10: 3642351204

ISBN-13: 9783642351204

ISBN-10: 3642351212

ISBN-13: 9783642351211

In diesem Werk wird einer der klassischen Texte der Mathematik umfassend historisch, mathematisch, physikalisch und philosophisch von Jürgen Jost ausführlich kommentiert und die gesamte Entwicklung dieser Disziplinen eingeordnet. Neben dem Urtext wird auch der historisch wichtige Kommentarteil von Hermann Weyl wiedergegeben.

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43 Diese beiden Hauptkrümmungen hängen i. a. von der Gestalt der Fläche im Raum ab. Gauß leitet dann aber den bemerkenswerten Satz (sog. Theorema egregium) her, dass das Produkt K = k  ⋅ k  nicht mehr von dieser Lage abhängt, somit eine Größe der inneren Geometrie ist. Insbesondere ist die Gaußsche Krümmung damit eine biegungsinvariante Größe, ändert sich also nicht, wenn man die Fläche ohne Dehnungen oder Stauchungen verbiegt. Beispielsweise lässt sich ein Blatt Papier zu einem Zylinder oder einer kegelförmigen Tüte aufrollen, und dies verändert nicht die Gaußsche Krümmung, welche in diesem Falle 0 ist und bleibt.

Sofern nicht alle Normalenschnitte die gleiche Krümmung haben, sind diese beiden Schnittkurven mit extremaler Krümmung eindeutig festgelegt und schneiden einander in einem rechten Winkel. 44 Für eine moderne Darstellung s. beispielsweise J. Eschenburg, J. Jost, Differentialgeometrie und Minimalflächen, Heidelberg, Berlin,  2007 26 2 Historische Einführung wirkliche Tragweite wird erst durch Riemann klar (obwohl dieser die nichteuklidische Geometrie überhaupt nicht rezipiert hatte). 5 Die Entstehung von Riemanns Habilitationsvortrag Riemann hatte sich zwar neben seinen eigentlichen mathematischen Forschungen viel mit naturphilosophischen Spekulationen beschäftigt und dabei in vieler Hinsicht Mathematik, Physik und Naturphilosophie durchaus als Einheit aufgefasst,45 aber dass die Schrift, die hier vorgestellt wird, überhaupt zustande kam, verdankt sich vielleicht doch eher einem Zufall.

Descartes scheiterte als Physiker insbesondere auch deswegen, weil seine mathematischen Konzepte nicht mit seinen physikalischen Vorstellungen zusammenpassten. 33 Dieser Raum ermöglichte dann später auch die systematische Behandlung funktionaler Zusammenhänge durch cartesische Graphen. 34 32 Alexandre Koyré, Etudes galiléennes, Paris, Hermann, 1966, versucht deshalb, Galilei die Erkenntnis des Trägheitsgesetzes abzusprechen, auch wenn dieses Gesetz in den von ihm zitierten Stellen bei Galilei und seinen Nachfolgern Cavalieri (1598–1647) und Torricelli (1608–1647) und bei Gassendi (1592–1655) mehrfach implizit vorausgesetzt und auch explizit ausgesprochen wird.

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by William
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